Трещотка диэлектрическая с присоединительным квадратом 3/8″ трещотка диэлектрическая 3/8″ (КВТ)

Головки торцевые: что важно знать?

Головки торцевые, они же ключи гаечные торцевые, они же ключи гаечные гнездовые. Все головки условно можно разделить на 2 большие группы.

Первая группа – головки со сквозным отверстием (под вороток). Размерный ряд начинается от 17мм.

image Основное преимущество этих головок под вороток – для работы с ними не нужен специальный вороток, который для головок большого размера стоит намного дороже, чем сама головка. Можно использовать монтировку или любой другой вороток подходящего диаметра. Из недостатков отметим невозможность работать в ограниченном пространстве и с утопленным крепежом. Использовать в работе удлинитель не получиться.

Вторая группа – головки с присоединительным квадратом под вороток. Размерный ряд начинается от 4мм. Об этой группе стоит рассказать поподробнее. Для удобства разделим группу по определённым параметрам. Первый параметр – размер присоединительного квадрата. Присоединительный квадрат или посадочный квадрат это четырёхгранное отверстие на тыльной стороне головки.  Размер квадрата измеряется в непривычных для нас единицах — дюймах. Дюйм от нидерландского duim — большой палец). Дюйм обозначается двойным штрихом ” и равен 25,4мм. Интересно, что МОЗМ (Международная организация законодательной метрологии) считает, что дюйм это та единица измерения, которая должна быть изъята из обращения как можно скорее и которая не должна вводиться там, где она в настоящее время не используется.  В РФ дюйм допущен к применению в качестве внесистемной единицы без ограничения срока с областью применения «промышленность». 5 самых популярных типоразмеров присоединительных (посадочных) квадратов.  1″,   3/4″,   1/2″,   3/8″,   1/4″. Часто задаваемый вопрос: сколько это в миллиметрах? Ответ:

  • 1 дюйм = 25,4 мм,
  • 3/4 дюйма = 19,05 мм,
  • 1/2 дюйма = 12,7 мм,
  • 3/8 дюйма = 9,53 мм,
  • 1/4 дюйма = 6,35 мм.
  • Квадрат 1/4″ – головки с   4мм до 14мм.
  • Квадрат 3/8″ – головки с   6мм до 24мм.
  • Квадрат 1/2″ – головки с   8мм до 36мм.
  • Квадрат 3/4″ – головки с 17мм до 70мм.
  • Квадрат 1″ – головки с 36мм до 80мм.

Второй параметр – применяемость. 1. Головки УДАРНЫЕ для работы с пневмо-электроинструментом. Головки рассчитаны на ударные нагрузки. Изготовлены из высококачественной стали с добавлением молибдена (Мо) для ударной вязкости.  Как правило оксидированные, черного цвета. Имеют, в отличии от стандартных головок, более толстую стенку, хотя существуют и тонкостенные ударные головки, например для работы с литыми дисками. 

2. Головки СТАНДАРТНЫЕ. Предназначены для ручной работы воротком. Защищены от коррозии цинкованием или хромированием.  Все головки на нашем сайте: https://vk.cc/5OlLOI  Третий параметр – профиль головок. 1. Двенадцатигранный профиль. Головки с таким профилем позволяют работать как с шестигранным так и двенадцатигранным крепежом. 

2. Стандартный шестигранный профиль. Самый распространенный, большинство наборов инструмента укомплектовано головками именно с таким профилем. 

3. Шестигранный профиль SuperLock, Surface, Мультидрайв. Профиль похож на шестигранный, но площадь контакта с крепежом увеличена. Головки с этим профилем показаны для работы с зализанным крепежом, можно откручивать и дюймовый крепёж. Об этом профиле мы подробно рассказывали здесь

4. Профиль TORX или Е-стандарт. Эти головки предназначены для откручивания крепежа с профилем TORX (6-лучевая звезда) 

Четвёртый параметр – высота головок. Головки высокие. 

Головки стандартной высоты. 

Все новинки 13.04.2015

Система с посадочным квадратом 1/2″

Cборный монтажный инструмент с размером посадочного квадрата 1/2″ в подавляющем большинстве случаев становится основой, на которой создается вся система слесарно-монтажного инструмента, будь это производственный цех, авторемонтная мастерская или личный гараж.

В то же самое время рабочий инструмент и адаптеры системы 1/2″ не настолько компактны, чтобы быть удобными при использовании с профилями до 14- 17 мм в труднодоступных местах. Как следствие, систему на 1/2″ желательно дополнять каким-то количеством приводов и рабочих насадок одной из систем с меньшим размером присоединительного квадра (1/4″ или 3/8″). Причем совсем не обязательно иметь головки торцевые и отверточные всех размеров.

При необходимости работать с шестигранниками свыше 30 мм, систему 1/2″ приходится дополнять инструментом и переходниками на 3/4″. Часто нужно всего лишь несколько размеров, которые применяются эпизодически. В систему 1/2″ могут входить проходные головки с посадочным шестигранником на 22 мм.

Размеры рабочих насадок для квадрата 1/2″

  1. Внешний 6-гранник: от 8 до 34 мм (многие производители – только до 32 мм);
  2. Внешний T0RX: от Е10 до Е20;
  3. Внутренний 6-гранник: от 3 до 19 мм;
  4. Внутренний T0RX: от Т20 до Т60;
  5. Профиль XZN: от М5 до М14.

Система с посадочным квадратом 1/4″

Она является основной при работе с точной механикой, электроникой и бытовой техникой, а также первым кандидатом на дополнение к системе 1/2″ в авторемонтных мастерских. При использовании внешнего шестигранного профилями от 4 до 11 мм все операции легче и удобнее выполнять инструментом системы 1/4″. При использовании в труднодоступных местах он в большинстве случаев может применяться и для размеров до 13 – 14 мм. Типичный пример – работа в плотном монтаже навесных агрегатов двигателем транспортной техники.

Торцевые головки и принадлежности системы 1/4″ в подавляющем большинстве поступают в продажу, как набор головок. В нем желательно наличие отверточной рукоятки (обязательно с квадратным гнездом 1/4″ в тыльной части ручки), Т-образной рукоятки, храповый механизм трещотка, минимум двух удлинителей, шарнира и переходника на шестигранник 1/4″.. Достаточно удобно иметь и комплект глубоких головок. Для системы 1/4″ настоятельно рекомендуется выбирать насадки с шестигранным профилем. При работе с крепежными соединениями малого размера 12-гранные профили могут “скруглять” грани крепежа уже при не очень больших нагрузках.

При выборе набора можно учесть тот факт, что приводы квадрата 1/4″ редко подвергается высоким нагрузкам. Когда необходимо приложить увеличенный крутящий момент к относительно большим (для этой системы) размерам крепежа (12 -14 мм), лучше все-таки использовать инструмент квадрата 1/2″, хотя бы из соображений большего размера приводов. А крепеж размером от 11 мм и ниже уже может оказать “серьезного сопротивления”. Как следствие, требования к порочности инструмента системы 1/4″ не очень высоки.

Размеры рабочих насадок для квадрата 1/4″

  1. Внешний 6-гранник: от 4 до 16 мм (многие бренды от 5,5 до 14).
  2. Внешний TORX: от Е4 до Е8;
  3. Внутренний 6-гранник: от 3 до 6 мм
  4. Внутренний TORX: от Т8 до Т40.

Система с посадочным квадратом 3/8″

Данная система присоединительного квадрта одна из самых универсальных. Она включает в себя популярные размеры шестигранных профилей, от 7 до 24-26 мм. Но при этом для того, чтобы применить ее универсализм необходимо иметь мощный инструмент на 1/2” и адапетр с 1/2″-3/8”. Это необходимо по тому, так как стандартный размер рукоятки инструмента в этой системе 150-160 мм (бывает максимально 200 мм), а с шарниром не более 250 мм. Соотвественно этого мало для полного использования с соединением от 17 мм и больше.

При этом данная система годится для налчиия в багажнике большинства автолюбителей, имеющих легковую машину. Преимущественно она применяется автомастерами, которые работают с двигателем автомобиля. Пневмоинструмент использует головки, удлинители и т.д. системы 3/8 и с соединениями до 17 – 19 мм.

Размеры рабочих насадок для квадрата 3/8″

  1. Внешний 6-гранник: от 5,5 до 26 мм (у многих брендов от 7 до 22 мм);
  2. Внешний T0RX®: от Е4 до Е18;
  3. Внутренний 6-гранник: от 3 до 12 мм;
  4. Внутренний T0RX®: от Т8 до Т50.

Система с посадочным квадратом 3/4″ и 1”

Эти системы инструмента необходимы для работы с крепежом размером от 30 мм и выше. Прежде всего, они используются при работе с тяжелой транспортной и строительной техникой. Пользоваться этим инструментом приходится реже, чем инструментом на 1/2″, и он существенно дороже. Как следствие, никто из этих производителей не предлагает в этих системах такого разнообразия рабочих насадок, приводов и переходников, как для систем 1/2″, 3/8″ и 1/4″. Часто используется формирование приводов разного типа из составных частей.

Практически все производители выпускают в этих системах инструмента только торцевые головки под внешний шестигранник. В системах 3/4″ как 6-шестигранные, так и двенадцатигранные профили встречаются приблизительно поровну. В системах 1″ преобладает предложение 12-гранных профилей: большие размеры граней крепежа делают их деформацию маловероятной.

Размеры рабочих насадок (внешний 6-гранник)

  1. Система 3/4″: от 17 до 70 мм.
  2. Система 1″: от 27 до 80 мм.

Почему нет систем инструмента с присоединительным квадратом более 1″?

Применение систем инструмента для крепежа с размером применяемого профиля свыше 60 – 70 мм во многих случаях теряет свой смысл. Причина в том, что основные преимущества сборного монтажного инструмента появляются при необходимости работать с достаточно большим числом разных рабочих профилей. Тогда-то и достигается экономия на приводах и переходниках, которые используются вместе с разными насадками. Крепеж больших размеров в конкретных конструкциях не отличается особым разнообразием. Вопросы прочности рабочего профиля крепежа из-за которых предпочтительнее применять накидной 6-гранник, тоже отходят на второй план, и с ростом размера рабочего профиля становится экономически более выгодно использовать обычные гаечные ключи. По этой причине системы ручного инструмента с присоединительным квадратом более 1″, которые еще несколько лет назад присутствовали в производственных программах многих производителей, сегодня уже никто не предлагает. Исключение составляют системы насадок для пневматического инструмента. Причина понятна: они применяются в промышленных условиях вместе с мощными пневматическими приводами и альтернативы им в этом качестве нет, поскольку обычные гаечные ключи применение механизированных приводов не допускают.

Принципы формирования наборов сборного слесарно-монтажного инструмента

imageОсновой обычно служит комплект на 1/2″, включающий все те приводы, адаптеры и головки, которые нужны для работы. Во многих ситуациях также необходимо купить комплект приводов и насадок на 1/4″ для работ в трудодоступных местах. Отдельные головки (например, 6-гранную на 8 мм для работы со штуцерами тормозных цилиндров) неплохо иметь и в глубоком варианте. Затем необходимо узнать вероятный набор ключей рожковых, накидных и комбинированных и другого необходимого инструмента, и тогда уже выбирать мебель для содержания приобретенного набора инструмента.

Возврат к списку

Формулы сокращённого умножения используются для возведения чисел в степень, а также умножения этих чисел и различных выражений. Не редко такие формулы сокращающего умножения помогают вычислять примеры быстрее и компактней.

В этой статье рассмотрим самые популярные формулы сокращённого умножения. Затем сгруппируем формулы в табличку и рассмотрим некоторые примеры использования формул сокращающего умножения.

Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса

Как сократить формулы сокращённого умножения?

Квадрат суммы двух чисел:

В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращённого умножения.

(a + b)2 = (a + b)(a + b)=a2 + 2ab + b2  = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суммы двух чисел)

Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.

Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2

А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:

(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2

Квадрат разности двух чисел:

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (квадрат разности двух чисел)

Выражение (a — b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

Многочлен a2 — 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:

(2a2 — 5ab2)2

Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:

(2a2 — 5ab2)2 = (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 — 20a3b2 + 25a2b4

Разность квадратов двух чисел

a2 — b2 = (a + b)(a — b) (разность квадратов двух чисел)

Выражение a2 — b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 — b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a2 + ab — ab — b2 = a2 — b2,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a2 — b2 = (a + b)(a — b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a2 + 3)(5a2 — 3)

Решение:

(5a2 + 3)(5a2 — 3) = (5a2)2 — 32 = 25a4 — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a2 — b2

При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращённого умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.

Формулы сокращённого умножения частенько называют тождествами сокращенного умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Другие формулы сокращённого умножения:

(a + b — c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab — 2ac — 2bc

Куб суммы двух чисел

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (куб суммы двух чисел)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Пример выражения:

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)= m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

Куб разности двух чисел

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 (куб разности двух чисел)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Пример выражения:

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

Сумма кубов двух чисел

a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (сумма кубов)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

Пример выражения:

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

Разность кубов двух чисел

a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (разность кубов)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

Пример выражения:

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab+ b4

Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:

(a — b)4 = a4 — 4a3b + 6a2b2 — 4ab+ b4

Данные формулы сокращённого умножения доказываются путём раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов

Рассмотрим семь основных формул сокращённого умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:

Таблица формул сокращённого умножения

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

Выражение в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:

Выражение в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:

Группа формул: сумма степеней

      Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y)

      Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 2. – Сумма степеней

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением   рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Разность степеней

      Если в формулах из Таблицы 2 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность степеней» (Таблица 3.):

      Таблица 3. – Разность степеней

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Примеры квадрата многочлена

1. (1 + 2 + 3 + 4)2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 2 • 1 • (2 + 3 + 4) + 23 • (3 + 4) + 2 • 3 • 4 = 1 + 4 + 9 + 16 + 2 • 1 • 9 + 2 • 2 • 7 + 24 = 30 + 18 + 28 + 24 = 100 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 ; 2. (2 + 3 + 4 + 5)2 = 22 + 32 + 42 + 52 + 2 • 2 • 3 + 2 • 2 • 4 + 2 • 2 • 5 + 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 5 + 2 • 4 • 5 = 4 + 9 + 16 + 25 + 12 + 16 + 20 + 24 + 30 + 40 = 196 ; a = 2 ; b = 3 ; c = 4 ; d = 5 ; 3. (5 + 6 + 7 + 8)2 = 52 + 62 + 72 + 82 + 2 • 5 • 6 + 2 • 5 • 7 + 2 • 5 • 8 + 2 • 6 • 7 + 2 • 6 • 8 + 2 • 7 • 8 = 25 + 36 + 49 + 64 + 60 + 70 + 80 + 84 + 96 + 112 = 676 ; a = 5 ; b = 6 ; c = 7 ; d = 8 ;

Куб трёхчлена

Следующая формула называется «Куб трёхчлена»:

(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz

Советы

  • Кубический многочлен является произведением трёх многочленов первой степени или произведением одного многочлена первой степени и неразлагаемого многочлена второй степени. В последнем случае — после нахождения многочлена первой степени — используется деление для получения многочлена второй степени.
  • Все кубические многочлены с рациональными действительными корнями можно разложить. Кубические многочлены вида x^3 + x + 1, у которых иррациональные корни, нельзя разложить на многочлены с целыми (рациональными) коэффициентами. Хотя такой многочлен может быть разложен по кубической формуле, он не разлагается как целый многочлен.

Вместе с запросом «формулы сокращённого умножения» часто ищут:

формулы сокращённого умножения 7 класс формулы сокращённого умножения доказательство
формулы сокращённого умножения задания повышенной сложности формулы сокращённого умножения словами
формулы сокращённого умножения примеры формулы сокращённого умножения онлайн
формулы сокращённого умножения 7 класс контрольная работа формулы сокращённого умножения примеры с дробями

Среди поклонников логических игр большой популярностью пользуется магический квадрат. Он представляет собой таблицу, заполненную особым образом цифрами. Причём сумма чисел одинакова по всем направлениям. Эту величину принято называть константой. Существует множество вариантов таких головоломок разной степени сложности.

История и современное применение

Первые подобные таблицы использовались ещё в Древней Греции и Китае. Это подтверждено археологическими находками. Арабы называли квадраты магическими, так как верили, что они обладают волшебными свойствами и могут защитить от многих напастей.

В середине XVI в. вопросом о том, как работает магический квадрат, заинтересовались математики в Европе. Они начали активно исследовать загадочные сочетания цифр. Учёные стремились вывести общие принципы построения квадратов и найти всё множество возможных вариантов.

В современной общеобразовательной школе разные виды магических квадратов используются на уроках математики. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают у детей живой интерес.

С их помощью школьники учатся планировать свою работу и контролировать её. В клетки можно вписывать не только отдельные цифры, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах. Решать такие числовые задачи можно и онлайн.

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15. Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения. В средней клетке верхней строки вписывается 1. Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку. По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева. Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3. Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа. Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6. Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу. Оставшуюся клетку занимает девятка.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.

Одинарная чётность

Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной чётности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика вычисления. У таблиц одинарной чётности количество клеток в одной строке или столбце делится пополам, но не делится на четыре. Наименьшим квадратом, отвечающим этому требованию, будет прямоугольник 6х6. Фигуру 2х2 построить и заполнить невозможно.

Вычисление магической константы

Первый этап расчётов проводится по формуле [n * (n2 + 1)] / 2, где символом n обозначено число клеток в одном ряду. Если взять за пример квадрат 6х6, расчёт будет выглядеть следующим образом: [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.

Волшебная постоянная прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть равна 111.

Рисунок делится на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 клеток (3х3). Каждую часть обозначают латинскими буквами: А — верхняя левая, С — верхняя правая, D — нижняя левая и В — нижняя правая часть. Если квадрат имеет другой размер, n делится на 2, чтобы узнать точную величину каждой из 4 частей.

Дальнейшие действия

Следующий шаг — вписывание в каждую часть ¼ всех чисел. В квадрант А вносятся числа от 1 до 9, в квадрант В — от 10 до 18, в части С — от 19 до 27, в D — от 28 до 36.

Последовательность вписывания такая же, как при заполнении простейшего нечётного квадрата:

Минимальное число, которым начинается заполнение ячеек, всегда ставится в верхнем ряду посередине. У каждой части эта ячейка находится отдельно. Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если есть пустое место в другом квадрате, его в этих случаях игнорируют.

В блоках А и D на этой стадии решения сумма в строках и столбиках будет отличаться от постоянной. Чтобы это исправить, некоторые числа меняют местами между собой.

Алгоритм действий:

Начинать нужно с крайней левой клетки в верхней строке. Если фигура имеет размеры 6х6, выделяется только первая верхняя строка части А. В ней должно быть вписано число 8. Если величина таблицы составляет 10х10, выделяют 2 первые клетки в верхнем ряду. В них стоят 17 и 24. Из выделенных клеток формируется промежуточный квадрат. В таблице с количеством строк и столбцов 6х6 он будет состоять из 1 клетки. Его условно обозначают А1. Если размер 10х10, в верхней строке выделяется 2 первые ячейки. Вместе с ними выделяется ещё 2 клетки, во второй строке получается поле из 4 прилежащих друг к другу ячеек. В следующей строке первая ячейка пропускается, затем выделяется столько клеток, сколько было в промежуточной таблице А1. Полученную фигуру можно обозначить А2. Таким же способом строят промежуточный квадрат А3. Эти 3 промежуточных фигуры формируют выделенную область А. Далее переходят в квадрант D и формируют обособленную область D.

Цифры, которые были вписаны в выделенных треугольниках А и D, нужно поменять между собой местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Она равняется вычисленной магической константе.

Двойной порядок

Если головоломка имеет порядок двойной чётности, количество окон в каждой горизонтальной строчке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальной фигурой с такими свойствами будет таблица 4х4.

Решать магические квадраты двойной чётности следует по тому же алгоритму, что и остальные. Первый шаг при заполнении — вычисление магической константы. Формула применяется та же, что для расчёта других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.

В каждом углу основного поля выделяются промежуточные таблицы. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против хода часовой стрелки. Величина промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:

Если длина стороны составляет 4 ячейки, промежуточные зоны будут иметь по 1 клетке. В таблице 8х8 эти области включают 4 элемента (2х2). В квадрате 12х12 выделяются промежуточные фигуры размером 3х3.

Следующий этап — создание центрального промежуточного квадрата. Величина его стороны должна составлять n/2. Эта фигура не должна накладываться на периферические, но при этом соприкасаться с ними углами.

Далее в квадрат вносят цифры слева направо. Их допускается ставить только в свободные ячейки, которые входят в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет таким:

В первой сверху строке и первом слева столбце пишется 1. В верхней клетке четвертого столбика — 4. В центр второй горизонтальной строчки ставятся цифры 6 и 7. В четвёртой строке слева пишется 13, а справа — 16.

По этому же принципу цифрами заполняются оставшиеся клетки. Числа проставляются слева в порядке уменьшения. Если всё сделано верно, сумма всех чисел в любой строчке будет одинаковой.

Содержание:

  • Таблица формул сокращенного умножения
  • Примеры использования
  • Формулы для квадратов
  • Формулы для кубов
  • Формулы для четвертой степени

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b)2 = a2+2ab+b2

Пример: (x + 3y)2 = x2 + 2 ·x·3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2

 

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b)2 = a2-2ab+b2

Пример: (4x –y)2 = (4x)2-2·4x·y + y2 = 16x2 – 8xy + y2

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

a2–b2 = (a–b)(a+b)

Пример: 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Пример: (x + 2y)3 = x3 + 3·x2·2y + 3·x·(2y)2 + (2n)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3– 3a2b+3ab2-b3

Пример: (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

Пример: 125 + 8y3 = 53 + (2y)3 = (5 + 2y)(52 – 5·2y + (2y)2) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a3– b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

Пример: 64x3 – 8 = (4x)3 – 23 = (4x – 2)((4x)2 + 4x·2 + 22) = (4x – 2)(16x2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

  • (a pm b)^2= a^2 pm 2ab + b^2
  • a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Формулы для кубов

  • (a pm b)^3= a^3 pm 3a^2b +3ab^2 pm b^3
  • a^3 – b^3 = (a pm b)(a^2mp ab+b^2)
  • (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

Формулы для четвертой степени

  • (a pm b)^4= a^4 pm 4a^3b +6a^2b^2pm 4ab^3+b^4
  • a^4 – b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 +b^2) (выводится из a^2 – b^2)

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Решай с ответами задание 5 по математике база ЕГЭ

Смотри также: Основные формулы по математике

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий